Lidt elementær valgmatematik

Vi vil anskueliggøre nogle simple måder at fordele mandater på i forbindelse med et valg hvor et antal partier/lister skal repræsenteres i et parlament.

Vi tager udgangspunkt i de faktiske stemmetal for det danske valg til Europa-Parlamentet den 7. juni 2009. Dette valg er simplere end folketingsvalg fordi hele landet fungerer som én kreds. Ved folketingsvalg må man tage højde for at kandidaterne skal vælges fra bestemte storkredse. Samtidig er der ingen spærregrænse ved europaparlamentsvalg.

Ved valget deltog de ni lister A, B, C, F, I, J, N, O og V. Resultatet blev:

Liste A B C F I J N O V i alt
Stemmer 503.439 100.094 297.199 371.603 13.796 55.459 168.555 357.942 474.041 2.342.128

Blanke stemmer og andre ugyldige stemmer betragtes ikke hér.

Der var følgende valgforbund:

  1. J+N
  2. A+B+F
  3. C+I+V
  4. O (liste uden valgforbund)

Det antal mandater der skulle fordeles, var 13. Vi betragter her fire simple metoder:

(i) Største brøks metode (uden valgforbund)

Kaldes også Hares metode (efter Thomas Hare (1806-1891)).

Ved denne metode betragtes stemmetallet for hver liste divideret med det samlede stemmetal, og dette ganges så med antallet af pladser (her 13). Det fremkomne decimaltal kan ses som det antal mandater hvert parti skulle have hvis man kunne have brøkdele af pladser.

Man giver nu først hver liste mandater svarende til heltalsdelen af det fremkomne tal. Dernæst tildeler man yderligere ét mandat til de lister der har de største brøkdele, indtil alle pladser er besat.

På skemaform:

Liste A B C F I J N O V i alt
Stemmer 503.439 100.094 297.199 371.603 13.796 55.459 168.555 357.942 474.041 2.342.128
Stemmeandel gange 13 2,7943 0,5556 1,6496 2,0626 0,0766 0,3078 0,9356 1,9868 2,6312 13,0000
Heltalsdel (øjeblikkelige mandater) 2 0 1 2 0 0 0 1 2 8
Brøkdel ,7943 ,5556 ,6496 ,0626 ,0766 ,3078 ,9356 ,9868 ,6312 5,0000
Mandat for største brøk +1 - +1 - - - +1 +1 +1 +5
Samlet antal mandater opnået 3 0 2 2 0 0 1 2 3 13

Man bemærker at listen B har den største brøk (,5556) der ikke giver et ekstra mandat. Man kan sige at B er uheldig fordi brøken er over 0,5 men alligevel ikke giver mandat. Ved et andet valg kunne man modsat opleve at en eller flere lister var heldige at få et ekstra mandat selvom deres brøk var under 0,5.

(ii) Største brøks metode med valgforbund

Valgforbundene søger at minimere »spildte« stemmer, idet lister med interessefællesskab slås sammen i første omgang.

Valgforbund J+N A+B+F C+I+V O i alt
Stemmeandel gange 13 1,2434 5,4125 4,3573 1,9868 13,0000
Heltalsdel (øjeblikkelige mandater) 1 5 4 1 11
Brøkdel ,2434 ,4125 ,3573 ,9868 2,0000
Mandat for største brøk - +1 - +1 +2
Samlet antal mandater opnået 1 6 4 2 13

Når vi nu véd hvor mange mandater hvert valgforbund skal have, fordeler vi mandaterne inden for hvert valgforbund.

Liste J N i alt
Stemmer 55.459 168.555 224.014
Stemmeandel gange 1 0,2476 0,7524 1,0000
Mandat for største brøk - +1 +1
Samlet antal mandater opnået 0 1 1

Liste A B F i alt
Stemmer 503.439 100.094 371.603 975.136
Stemmeandel gange 6 3,0977 0,6159 2,2865 6,0000
Heltalsdel (øjeblikkelige mandater) 3 0 2 5
Brøkdel ,0977 ,6159 ,2865 1,0000
Mandat for største brøk - +1 - +1
Samlet antal mandater opnået 3 1 2 6

Liste C I V i alt
Stemmer 297.199 13.796 474.041 785.036
Stemmeandel gange 4 1,5143 0,0703 2,4154 4,0000
Heltalsdel (øjeblikkelige mandater) 1 0 2 3
Brøkdel ,5143 ,0703 ,4154 1,0000
Mandat for største brøk +1 - - +1
Samlet antal mandater opnået 2 0 2 4

Liste O
Samlet antal mandater opnået 2

Hvis vi sammenligner med største brøks metode uden valgforbund, ser vi at forskellen er at B har fået ét mandat mere, og V ét mindre.

(iii) D'Hondts metode (uden valgforbund)

Opkaldt efter Victor D'Hondt (1841-1901).

Ved denne elegante metode dividerer man de enkelte listers stemmetal med en række divisorer, nemlig 1, 2, 3, 4 etc. Herved fremkommer en rækker kvotienter.

Det første mandat tilfalder nu partilisten med den største kvotient. Mandat nummer to tilfalder næststørste kvotient. Og så fremdeles indtil alle tretten mandater er fordelt.

I skemaet herunder viser vi med tal i parentes hvilke kvotienter der giver mandat, og i hvilken rækkefølge:

Liste A B C F I J N O V
Divisor 1 (1) 503.439 100.094 (5) 297.199 (3) 371.603 13.796 55.459 (10) 168.555 (4) 357.942 (2) 474.041
Divisor 2 (6) 251.720 (13) 148.600 (8) 185.802 84.278 (9) 178.971 (7) 237.021
Divisor 3 (11) 167.813 99.066 123.868 119.314 (12) 158.014
Divisor 4 125.860 118.510
Divisor 5
Mandater 3 0 2 2 0 0 1 2 3

Man bemærker at sidste mandat går til liste C. Havde der været et fjortende mandat, var det gået til liste A (der har den største kvotient der ikke giver en plads).

Øvelse for let viderekomne læsere: Tænk på rummet af alle mulige stemmeandelsfordelinger på de ni lister (et 8-simpleks). For hver mulig mandatfordeling (tretten sæder) blandt de ni lister betragtes det område af 8-simplekset som ifølge D'Hondts metode fører til denne mandatfordeling. Bevis at disse områder har lige store (8-dimensionale) rumfang.

(iv) D'Hondts metode med valgforbund

Dette er den metode der faktisk bliver benyttet ved europaparlamentsvalg:

Valgforbund J+N A+B+F C+I+V O
Divisor 1 (9) 224.014 (1) 975.136 (2) 785.036 (5) 357.942
Divisor 2 112.007 (3) 487.568 (4) 392.518 (12) 178.971
Divisor 3 (6) 325.045 (7) 261.679 119.314
Divisor 4 (8) 243.784 (10) 196.259
Divisor 5 (11) 195.027 157.007
Divisor 6 (13) 162.523
Divisor 7 139.305
Divisor 8
Mandater 1 6 4 2

Ved fordelingen af mandaterne inden for de enkelte valgforbund har vi de samme kvotienter som under afsnit (iii):

Liste J N
Divisor 1 55.459 (1) 168.555
Divisor 2 84.278
Divisor 3
Mandater 0 1

Liste A B F
Divisor 1 (1) 503.439 100.094 (2) 371.603
Divisor 2 (3) 251.720 (4) 185.802
Divisor 3 (5) 167.813 123.868
Divisor 4 (6) 125.860
Divisor 5 100.688
Divisor 6
Mandater 4 0 2

Liste C I V
Divisor 1 (2) 297.199 13.796 (1) 474.041
Divisor 2 148.600 (3) 237.021
Divisor 3 (4) 158.014
Divisor 4 118.510
Divisor 5
Mandater 1 0 3

Liste O
Divisor 1 (1) 357.942
Divisor 2 (2) 178.971
Divisor 3 119.314
Divisor 4
Mandater 2

Resumé af de fire metoder

For overskuelighedens skyld samler vi resultatet af de fire opgørelsesmetoder i ét skema:

Liste A B C F I J N O V
Stemmer 503.439 100.094 297.199 371.603 13.796 55.459 168.555 357.942 474.041
Største brøks metode (uden valgforbund) 3 0 2 2 0 0 1 2 3
Største brøks metode med valgforbund 3 1 2 2 0 0 1 2 2
D'Hondts metode (uden valgforbund) 3 0 2 2 0 0 1 2 3
D'Hondts metode med valgforbund 4 0 1 2 0 0 1 2 3

Man bemærker at mandatfordelingen i de to tilfæde uden valgforbund tilfældigvis bliver den samme (med lige netop disse tal som stammer fra den faktiske valgoptælling).

Med de givne tal har valgforbundene følgende konsekvens:

Hvilken metode synes læseren er mest retfærdig?

Med forbehold for fejl.

/JeppeSN